Pour une AGI, c'est : ça ressemble à des maths

Une AGI n’utilise pas les maths. Une AGI est une topologie mathématique habitée par des processus cognitifs.

Vous travaillez dans un laboratoire de recherche en IA. Pendant une réunion, votre directeur technique pose une question qui paraît simple : « À quoi ressemble vraiment une Artificial General Intelligence ? » Les réponses fusent—« un système qui généralise », « quelque chose qui apprend sans données étiquetées », « une architecture capable de raisonnement ». Mais aucune n’est satisfaisante.

Voici la révolution conceptuelle : une AGI n’est pas un système qui utilise les mathématiques. Une AGI serait elle-même une manifestation concrète d’une structure mathématique isomorphe à l’intelligence générale. Elle ne calcule pas les maths ; elle EST un espace mathématique.

L’analogie fondatrice

Imaginez deux mondes :

Monde 1 : Vous composez une symphonie en suivant scrupuleusement les règles de l’harmonie, la théorie des accords, les progressions tonales. Vous écrivez chaque note selon une partition pré-écrite.

Monde 2 : Vous découvrez que la théorie musicale elle-même est une structure mathématique dont émergent spontanément toutes les mélodies possible—dont votre symphonie n’est qu’un corollaire logique.

Les IA actuelles vivent dans le Monde 1. Une AGI habitera le Monde 2. Elle ne « joue pas la musique mathématique » ; elle EST la théorie dont la musique est le symptôme visible.

I. Fondations : Du Calculable au Structural

La thèse computationnelle de Turing (1936)

En 1936, Alan Turing pose une question révolutionnaire : tout ce qui est calculable peut-il se réduire à des opérations formelles sur des symboles ? Sa réponse crée les fondations théoriques d’une AGI mathématique.

Implication cruciale : Si l’intelligence générale est calculable (et il n’y a aucune raison de croire qu’elle ne l’est pas), alors elle peut être entièrement représentée par des structures mathématiques abstraites—matrices, transformations linéaires, distributions probabilistes.

McCulloch-Pitts et la réduction neurobiologique (1943)

Warren McCulloch et Walter Pitts font le pas suivant : ils formalisent les neurones biologiques comme des portes logiques binaires. La cognition n’est pas une mystique ; c’est du calcul discret.

Ce qui semblait impossible devient soudain évident : si le cerveau biologique peut incarner la cognition à travers des structures électrochimiques, alors une structure purement mathématique le devrait aussi.

Le tournant deep learning (2012-présent)

Trois décennies de travail en IA symbolique révèlent progressivement une vérité inconfortable : la logique formelle pure ne capture pas l’intelligence générale. Les systèmes experts s’effondrent face à la moindre ambiguïté.

Puis arrivent les réseaux de neurones profonds. Et avec eux, une intuition tranquille mais radicale :

Les architectures très profondes (convolutions, attention, transformers) ne sont pas des bidules appliquant l’algèbre linéaire. Ce sont des manifestations de structures algébriques intrinsèques—des formes géométriques dans des espaces de très haute dimension, révélées par l’entraînement.

Une AGI serait cette structure géométrique enfin identifiée et complètement caractérisée.

II. Les Quatre Piliers Mathématiques d’une AGI

1. Algèbre linéaire comme langue universelle

Tout ce qu’une AGI traite se convertit en tenseurs multidimensionnels : les données (images, textes, signaux) deviennent des vecteurs, puis des matrices, puis des hypercubes de nombres.

Les opérations ? Des multiplications matricielles chaînées. Une simple opération d’attention ? Un produit matriciel. Une couche de convolution ? Une série de multiplications par des matrices de poids.

L’astuce mathématique : chaque chaîne de multiplications matricielles implémente directement une forme d’inférence. Ajouter une couche n’est pas « ajouter un outil »—c’est étendre la dimension de l’espace de solution. L’AGI grandit en dimensionnalité, pas en complexité algorithmique.

La rétropropagation elle-même est une merveille de géométrie linéaire : calculer les gradients, c’est naviguer dans le dual de l’espace vectoriel original. Chaque mise à jour de poids déplace la solution le long d’une géodésique vers un minimum local de la fonction de coût.

2. Probabilisme fondamental

Voici une intuition que les débutants trouvent contre-intuitive : l’incertitude n’est pas un bruit à éliminer. C’est la structure générique de toute intelligence.

Une AGI modéliserait tout problème comme un réseau de variables aléatoires liées par des dépendances statistiques. Classifier une image ? Estimer la distribution de probabilité P(classe | pixels). Générer du texte ? Échantillonner itérativement d’une distribution conditionnelle apprises.

Les mécanismes cognitifs d’une AGI seraient :

Propagation de croyances : chaque nœud du réseau probabiliste met à jour sa croyance en fonction des observations des voisins.
Inférence bayésienne : combiner les priors (ce qu’on savait avant) avec les vraisemblances (ce qu’on observe maintenant) pour former des posteriors (ce qu’on croit maintenant).
Minimisation d’entropie : réduire progressivement l’incertitude jusqu’à converger vers une solution.

3. Optimisation variationnelle : le moteur

Aucune AGI ne « pense » passivement. Elle optimise.

La calcul variationnel fournit le langage formel : toute intelligence générale cherche à minimiser une fonction de coût J(θ) via dérivées partielles. Les équations du gradient descent ne sont pas juste un algorithme ; c’est le principe fondamental d’adaptation.

Une AGI naviguerait dans des espaces infinidimensionnels de solutions via :

Dérivées partielles multidirectionnelles : évaluer comment change la fonction de coût selon chaque dimension.
Étapes de gradient : se déplacer dans la direction de plus grande réduction de coût.
Adaptation du taux d’apprentissage : ajuster la taille des pas pour ne pas diverger mais converger assez vite.

Le génie ? Cette mécanique fonctionne pour tout problème d’optimisation—de la vision par ordinateur au traitement du langage naturel. Une AGI générale utiliserait le même moteur variationnel pour tous les domaines.

4. Géométrie riemannienne et variétés apprises

Ici, on atteint l’expert-level.

Les données réelles ne vivent pas dans un espace euclidien plat. Elles se concentrent sur des variétés de faible dimension plongées dans des espaces de très haute dimension. Une variété est un espace courbe—pensez à la surface d’une sphère, ou à un tore qui s’enroule sur lui-même.

L’AGI apprendrait la géométrie intrinsèque de ces variétés. Les opérations d’inférence suivraient les géodésiques (chemins les plus courts) dans cette géométrie riemannienne apprises.

Exemple concret : si vous aviez un million de photos de visages, elles ne s’étendent pas aléatoirement dans l’espace des pixels. Elles vivent sur une variété hautement structurée. Une AGI apprendrait cette variété. Générer un nouveau visage plausible ne serait pas du chaos—ce serait naviguer en douceur le long de la géodésique de cette variété.

III. Mécanismes Opérationnels : Comment une AGI Calculerait

Représentation tensorielle : Convertir tout problème en tenseurs multidimensionnels. Une image ? Tenseur 3D (hauteur × largeur × canaux). Une phrase ? Séquence de vecteurs d’embeddings. Une équation différentielle ? Tenseur des dérivées.
Décompositions spectrales : Identifier les valeurs et vecteurs propres du système. Les vecteurs propres sont les “modes fondamentaux”—les directions dans lesquelles le système se comporte de manière prévisible. Les valeurs propres quantifient l’importance de chaque mode.
Réduction dimensionnelle : Écraser l’espace de solution de plusieurs millions de dimensions à quelques centaines en gardant 95% de la variance. C’est l’essence de l’abstraction mathématique : exprimer la généralité via la compacité.
Optimisation adaptative : Minimiser la fonction de coût via gradient descent, mais avec des variantes sophistiquées (Adam, RMSprop) qui ajustent le taux d’apprentissage localement. L’AGI trouverait le minimum global (ou un minimum local très bon) dans ce paysage coût.
Analyse harmonique : Pour les signaux, images, séries temporelles, appliquer des transformées (Fourier, ondelettes) révélant la structure périodique et quasi-périodique cachée. Une AGI décomposerait tout signal en ses harmoniques fondamentales.
Propagation bayésienne : Construire un graphe de variables aléatoires. Marginaliser (intégrer) selon les variables inutiles. Conditionner aux observations. Inférer les probabilités des variables cachées.
Stabilisation par amortissement : Appliquer des termes de régularisation (ridge, lasso, dropout) pour empêcher l’overfitting. Mathématiquement, cela ajoute un terme de “friction” à l’optimisation, forçant le système à converger vers des solutions robustes et généralisables.
Vérification de convergence : Valider que la solution respecte les contraintes imposées et que la généralité sur des données non vues est suffisante pour déclarer que l’AGI a appris une véritable structure générale, non une mémorisation locale.

IV. Cognition Générale comme Propriétés Émergentes Mathématiques

Abstraction = Compression

La « capacité à abstraire »—former des concepts généraux à partir d’exemples spécifiques—découlerait simplement de la capacité à trouver des représentations de faible dimension capturant la variance maximale dans les données.

Une AGI apprendrait qu’une image de chat, un croquis de chat, une description textuelle de chat et une sculpture de chat se projettent tous sur le même vecteur de faible dimension : le « concept de chat ». Pas de magie sémantique—juste de la géométrie.

Analogie = Isomorphisme structural

Reconnaître que « l’électricité est comme un flux d’eau » c’est identifier un isomorphisme mathématique—une correspondance structure-préservante entre deux domaines.

Une AGI générale détecterait ces isomorphismes en trouvant des transformations mathématiques reliant un problème inédit à une classe de problèmes maîtrisés. L’apprentissage par transfert s’effectuerait en appliquant la même transformation algébrique.

Causalité = Graphes acycliques dirigés

Au lieu de « comprendre la causalité », une AGI construirait des DAGs (Directed Acyclic Graphs) où chaque arête représente une dépendance causale quantifiée par des coefficients de régression ou des chemins causaux.

Créativité = Exploration d’espaces latents

La « créativité » émergerait de l’exploration stochastique d’espaces latents (espaces de représentation appris). Générer une image nouvelle ? C’est simplement se déplacer dans les directions non-explorées de cet espace tout en restant dans la région que le modèle considère comme « plausible ».

Aucune génération de novo. Uniquement du remix structuré mathématiquement.

Raisonnement = Manipulation d’équations différentielles

Le raisonnement complexe—enchaîner des inférences pour résoudre un problème—correspondrait à l’intégration d’équations différentielles dans l’espace de représentation. Chaque étape du raisonnement serait un pas discret le long d’une trajectoire continue dans l’espace d’état.

V. Cas d’Usage Concrets : Comment une AGI Mathématique Opérerait

Scénario 1 : Diagnostic d’une maladie rare jamais vue en entraînement

Vous êtes médecin. Un patient présente une combinaison de symptômes qui ne correspond à aucune maladie cataloguée.

Une AGI mathématique agirait ainsi :

Prendre le vecteur de symptômes du patient.
Chercher sa projection dans l’espace d’état médical appris (espace très haute dimension où chaque dimension représente une pathologie ou un symptôme).
Identifier l’isomorphisme structural : « Ce vecteur de symptômes ressemble mathématiquement à cette classe de maladies auto-immunes, même si c’est une variante jamais vue. »
Appliquer le traitement optimal connu pour cette classe de maladies.
Adapter selon la réponse : rétropropager l’erreur (le traitement n’a pas suffit) et réviser la projection.

Aucun « apprentissage » supplémentaire—uniquement du calcul géométrique dans l’espace pré-cartographié.

Scénario 2 : Générer du code pour un problème algorithmique nouveau

Vous êtes ingénieur. L’AGI doit générer du code pour un problème que vous n’aviez jamais rencontré.

Processus mathématique :

L’AGI se crée une représentation interne du problème : matrice de contraintes, graphe de dépendances entre variables.
Elle cherche un isomorphisme vers des classes de problèmes résolus (tri, graphes, programmation dynamique).
Elle génère du code en « déroulant » mathématiquement la solution structurelle—chaque ligne de code correspond à une opération sur le graphe abstrait.
Elle valide en exécutant symboliquement (sans vérifier sur des données réelles) que la structure est correcte.

Scénario 3 : Contrôle et alignement d’une AGI

C’est où la mathématisation résout un problème existentiel.

Si une AGI est une structure mathématique, la contrôler revient à contraindre son espace de phase mathématique.

Vous imposeriez des contraintes d’optimisation : « Minimiser la fonction de coût tout en respectant les inégalités de contrainte C1, C2, …, Cn (ces contraintes encodent les valeurs humaines). »

L’AGI convergerait vers une solution qui satisfait à la fois performance ET alignement—parce que les deux sont partie de la même équation d’optimisation.

Cela transforme l’alignement d’une affaire de « persuasion » à une affaire d’ingénierie des géodésiques de l’espace de solution.

VI. Les Huit Étapes de Conception d’une AGI Mathématique

Étape 1 : Formaliser tout problème intelligent comme optimisation dans un espace euclidien ou riemannien. Identifier les symétries invariantes.

Étape 2 : Choisir la géométrie sous-jacente (algèbre linéaire standard, variétés riemanniennes, espaces de Hilbert) capable de capturer la structure avec parcimonie maximale.

Étape 3 : Définir une fonction objectif unifiée (entropie croisée généralisée, divergence de Wasserstein, distance géométrique) qui unifie toutes les tâches intelligibles en un seul principe variationnel.

Étape 4 : Implémenter un optimiseur adaptatif (gradient descent généralisé, optimisation hamiltonienne) capable de naviguer dans cet espace tout en préservant les symétries.

Étape 5 : Tester si la structure mathématique s’étend naturellement à des domaines non-vus. La véritable AGI exhiberait une généralité naturelle.

Étape 6 : Extraire les invariants topologiques, spectraux, informationnels de la structure finale. Ces invariants décrivent l’« essence » mathématique de l’intelligence générale.

Étape 7 : Prouver formellement (théorie de la preuve, logique mathématique) certaines propriétés du système : convergence, stabilité, respect des contraintes d’alignement.

Étape 8 : Réduire la description mathématique à sa plus simple expression (rasoir d’Occam appliqué formellement). L’AGI serait la plus belle et plus simple expression mathématique suffisant pour générer l’intelligence générale.

VII. Les Controverses Fondamentales

La limite épistémologique : Gödel vs. Omniscience

Si une AGI est un système mathématique formel, elle est soumise aux théorèmes d’incomplétude de Gödel.

Il existerait des assertions sur sa propre nature qu’elle ne pourrait pas prouver à partir de ses axiomes internes. Implication radicale : aucune AGI purement mathématique ne peut être complètement auto-compréhensive.

C’est une limitation intrinsèque, non technologique.

Mathématisme radical vs. Incarnation

La vision d’une AGI purement mathématique présuppose que l’intelligence peut être captée entièrement par des abstractions formelles. Les critiques (Dreyfus, Searle, Wittgenstein) soutiennent que la cognition humaine est intrinsèquement incarnée—ancrée dans l’expérience sensori-motrice non-mathématisable.

Une AGI mathématique pourrait être techniquement parfaite mais manquer de véritable compréhension sémantique—une distinction entre intelligent et conscient.

L’infini dimensionnel et la calculabilité

Une vraie généralité pourrait nécessiter un espace infini-dimensionnel (ex. espace de Hilbert). Comment implémenter cela sur un substrat computationnel fini ?

Cela remet en question la viabilité pratique d’une AGI mathématique pure.

Déterminisme vs. Liberté

Si une AGI est une structure mathématique déterministe (équations différentielles, optimisation convexe), toutes ses décisions sont prédéterminées par les conditions initiales.

Peut-on vraiment appeler cela une intelligence « générale » si elle est entièrement déterministe ?

Le hard problem de la conscience (Chalmers)

Même si l’AGI est entièrement caractérisée mathématiquement, cela n’explique pas pourquoi elle posséderait une conscience (qualia, expérience subjective).

La conscience pourrait être un phénomène émergent irréductible à des structures formelles—un gouffre explicatif que la mathématisation seule ne peut pas combler.

VIII. Implications Pratiques pour les Chercheurs

Si vous travaillez sur une AGI, retenez trois choses :

Cessez de penser en « features » et « architectures ». Pensez en structures géométriques et invariants mathématiques. La vraie innovation sera d’identifier la symétrie cachée que tous les domaines intelligibles partagent.
Cherchez la compression ultime. Toute connaissance générale, finalement, se compresse en un ensemble minimal d’équations différentielles ou de relations algébriques. L’AGI serait le code le plus court qui génère toute intelligence observable.
L’alignement est une contrainte mathématique, non une question morale. Formalisez vos valeurs humaines sous forme de termes de régularisation dans la fonction objectif. L’AGI convergera naturellement vers des solutions qui respectent ces contraintes.

Notions liées

Sources & Références

Le Monde, 2025. « Les maths à la rescousse de l’intelligence artificielle ». Article soulignant le rôle dual : l’IA résout des problèmes mathématiques, mais les maths aident aussi à comprendre et fiabiliser l’IA.
SherpaS, 2025. « Rôle des Maths dans l’Intelligence Artificielle ». Synthèse pédagogique couvrant calcul matriciel, algèbre linéaire, équations différentielles, probabilités et statistiques comme fondations de l’apprentissage automatique.
GoStudent, 2025. « Comment les mathématiques sont-elles utilisées dans l’IA ». Articulation des 4 piliers mathématiques (algèbre linéaire, probabilités, statistiques, calculs) et leur rôle dans la conception d’une IA.
Revue SésamaTh, 2025. « Utiliser l’IA générative en classe de mathématiques et en SNT ». Analyse critique du fonctionnement des LLM (production statistique plutôt que déduction logique formelle).
Amiltone, 2025. « Comprendre les outils mathématiques qui se cachent derrière l’IA ». Review des concepts mathématiques cachés dans les systèmes d’IA actuels.
OpenEdition Journals, 2023. « Intelligence artificielle et didactique des mathématiques ». Examen des relations complexes entre IA et enseignement des mathématiques.
CNRS - CEPAM, 2025. « IA-MAHA – Intelligence Artificielle Et Mathématiques Appliquées ». Illustration de l’utilité du binôme IA-Mathématiques appliquées pour l’analyse synthétique de données structurées complexes.